UNIDAD 2:
PROGRAMACION LINEAL APLICADA
2.1 DEFINICIÓN
GENERAL DE IO
2.2 EJEMPLOS
DIVERSOS
PROGRAMACIÓN
LINEAL.
La programación
matemática es una potente técnica de modelado usada en el proceso de toma de
decisiones. Cuando se trata de resolver un problema de este tipo, la primera
etapa consiste en identificar las posibles decisiones que pueden tomarse; esto
lleva a identificar las variables del problema concreto. Normalmente, las
variables son de carácter cuantitativo y se buscan los valores que optimizan el
objetivo. La segunda etapa supone determinar que decisiones resultan admisibles;
esto conduce a un conjunto de restricciones que se determinan teniendo presente
la naturaleza del problema en cuestión. En la tercera etapa, se calcula el
coste/beneficio asociado a cada decisión admisible; esto supone determinar una
función objetivo que asigna, a cada conjunto posible de valores para las
variables que determinan una decisión, un valor de coste/beneficio. El conjunto
de todos estos elementos define el problema de optimización. La programación
lineal (PL), que trata exclusivamente con funciones objetivos y restricciones lineales,
es una parte de la programación matemática, y una de las áreas más importantes
de la matemática aplicada. Se utiliza en campos como la ingeniería, la
economía, la gestión, y muchas otras áreas de la ciencia, la técnica y la
industria.
Introducción: La programación lineal es una técnica matemática ampliamente
utilizada, diseñada para ayudar a los administradores de producción y
operaciones en la planeación y toma de decisiones relativas a la negociación
necesaria para asignar recursos.
Aplicación: a partir de 1950 se inicia un fuerte desarrollo en la programación
lineal apoyada por una gran variedad de aplicaciones prácticas en la economía y
la administración industrial.
Principales problemas: Algunos de los principales problemas que han sido establecidos en base la programación lineal, así como sus áreas de aplicación son los siguientes:
1).− La selección de la mezcla de productos es una fábrica para tomar
el mejor uso de las horas disponibles de la maquinaria y mano de obra, mientras
se maximiza la utilidad de la empresa. 2).− La selección de diferentes
mezclas de materias primas en los molinos de comida para producir combinaciones
de alimentos terminados al mínimo costo.
3).− Otros como pueden ser de relaciones ínter industriales (modelos de
Lentieff, análisis económico), problemas de tránsito (industria de transportes
y aviación) ETC.
La programación lineal
resuelve los problemas en términos de un conjunto de ecuaciones lineales y una ecuación
también lineal llamada función objetivo, que cuantifica el beneficio
proporcionado por la solución del conjunto de ecuaciones lineales que corresponden
a las restricciones.
Es una clase de modelo de
programación matemática destinado a la asignación eficiente de los recursos
limitados en actividades conocidas, con motivos de satisfacer las metas
deseadas (maximizar beneficios y minimizar costos).
Las características distintivas de
los modelos de programación lineal es que las funciones que representan el
objetivo y las restricciones son lineales.
Definición: La programación lineal es una herramienta matemática que sirve
para resolver de la mejor manera posible sistema de Asignación en los que la
problemática consiste en asignar recursos escasos y limitados entre actividades
competitivas y cuando desde el punto de vista matemático las relaciones entre
los elementos del sistema sean estrictamente lineales.
Ejemplo
1
(Planeación de producción)
Maximización de utilidades
Se procesan 3 productos a través de
3 operaciones diferentes. Los tiempos en minutos requeridos por unidad de cada
producto, la capacidad diaria de las operaciones (minutos/días) y el beneficio
por unidad vendida de cada producto en dólares.
|
Operación
|
Tiempo/unidad (min)
|
Capacidad de
Operación (min/día)
|
||
|
Producto A
|
Producto B
|
Producto C
|
||
|
1
|
1
|
2
|
1
|
430
|
|
2
|
3
|
0
|
2
|
460
|
|
3
|
1
|
4
|
0
|
420
|
|
|
|
|
|
|
|
Beneficio/Unidad
($)
|
$3.00
|
$2.00
|
$5.00
|
|
DESARROLLO
A)
V(x)
de Decisión
X1 = Cantidad de
producto “A” a producir.
X2 = Cantidad de
producto “B” a producir
X3 = Cantidad de
producto “C” a producir
B)
FO
Max X0 =
3X1 + 2X2 + 5X3
C)
SA
Operación 1 -------------- 1X1 + 2X2 + 1X3
≤ 430
Operación 2 -------------- 3X1 + 3X3 
460
460
Operación
3 -------------- 1X1 + 4X2 ≤ 420
NN
X1, X2, X3 ≥ 0
Ejercicio # 2
Un
ganadero se encuentra ante el problema de como alimentar su ganado vacuno al
costo mínimo, pero satisfaciendo determinados requisitos dietéticos de
alimentación.
Una
dieta normal para la clase de vaca lechera que existe en la granja, requiere
por cabeza diariamente los siguientes elementos nutritivos, por lo menos en las
cantidades siguientes:
12,450
gr ND (nutrientes digestibles)
2,400 gr PC
72 gr Calcio
57 gr P
Para
la alimentación del ganado puede disponerse únicamente de 4 alimentos, Pasto
Bermuda(PB), Levadura Cerveza (LC), Harina Ajonjolí (HA), Miel de Purga (MP),
que contiene en diversas proporciones los alimentos exigidos por la dieta.
|
Elementos Nutritivos (gr)
|
Alimentos 1(kg)
|
Requisitos mínimos al día(grs)
|
|||
|
PB
|
LC
|
HA
|
MP
|
||
|
ND
|
169
|
728
|
713
|
537
|
12,450
|
|
PC
|
14
|
63
|
39
|
30
|
2,400
|
|
Ca
|
1.4
|
1.3
|
20.2
|
6.6
|
72
|
|
P
|
0.5
|
15.6
|
16.1
|
0.8
|
57
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Costo/kg
($)
|
0.06
|
0.25
|
0.30
|
0.20
|
|
De
cuales alimentos y en qué cantidades deben darse a cada cabeza de ganado
diariamente para satisfacer requisitos de dieta.
DESARROLLO
A)
V(x) DE DECISIÓN FORMULE
EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL QUE MEJOR LO REPRESENTE
X1 = N° DE KGS. A
COMPRAR DE PB AL DÍA.
X2 = N° DE KGS. A
COMPRAR DE LC AL DÍA.
X3 = N° DE KGS. A
COMPRAR DE HA AL DÍA.
X4 = N° DE KGS. A
COMPRAR DE MP AL DÍA.
B) FO
Min
Xo = 0.06X1 + 0.25X2 + 0.30X3 + 0.20X4
C)SA
169X1 + 728X2
+ 713X3 + 537X4
≥ 12,450
14X1 + 63X2 +
39X3 + 30X4
≥ 2,400
1.4X1 + 1.3X2
+ 20.2X3 + 6.6X4
≥ 72
0.5X1 + 15.6X2
+ 16.1X3 + 0.8X4
≥ 57
NN X1, X2, X3, X4 ≥ 0
EJERCICIO
# 3
Se prepara una dieta para
estudiante de universidad. El objetivo es alimentas a los estudiantes al menor
costo, pero la dieta debe estar entre 1,800-3,600 calorías. No puede haber más
de 1,400 calorías de almidones ni menos de 400 proteínas, así como no más de
150 calorías de grasa. La dieta se compondrá de dos alimentos A y B.
El alimento A cuesta $1.50 cada
libra y contiene 600 calorías, 400 de los cuales son proteínas y 200 de
almidones.
El alimento B cuesta $0.30 cada
libra y contiene 900 calorías de las cuales 700 son almidones y 100 proteínas y
100 grasas.
Formule el modelo matemático de
programación lineal más adecuado.
DESARROLLO
A) V(x) DE DECISIÓN
X1 = N° Lbs ALIMENTO “A”
X2 = N° Lbs ALIMENTO “B”
B) FO
Min
Xo = 1.5X1 + 0.30 X2
C)
SA
X1
+ X2 ≥ 1,800
X1
+ X2 ≤ 3,600
ALMIDONES
200 X1 + 700 X2 ≤
1,400
PROTEINAS
400 X1 + 100X2
≥ 400
GRASAS 100X2 ≤
150
NN X1, X2 ≥ 0
EJERCICIO
# 4
Una
empresa de carga dispone de un avión con las siguientes capacidades máximas de
carga al frente y atrás. Adelante 500 kg capacidad un área 30m3
Atrás 700 kg capacidad un área de 40 m3
Deben transportarse dos tipos de carga 1 y 2 las
cuales se venderán a:
Carga 1 ---------- $2.00/ unidad
Carga 2 ---------- $3.00/ unidad
La demanda mínima de carga 1 es de
6,000 unidades
La demanda mínima de carga 2 es de
7,000 unidades
Cada unidad de la carga 1 ocupa 2dm3
Cada unidad de la carga 2 ocupa 1dm3
El peso de la carga 1 es de 1kg
El peso de la carga 2 es de 2kg
Formular el modelo matemático de
programación lineal más adecuado.
Cuanto enviar de carga 1 y 2 de tal
manera de maximizar las ventas.
A) V(x) DE DECISIÓN.
Xij
de cantidad de carga tipo (1,2) en la bodega (FA)
X1f =
X2f =
X1A =
X2A =
B)
FO
Max Xo = 2 (X1
F + X1A) + 3 (X2F + X2A)
C) SA
DEMANDA
------------ X1F + X1A ≥ 6,000
X2F + X2A ≥ 7,000
VOLUMEN ------------ 0.2 X1F + 0.1 X2A
≤ 30
0.2
X1A + 0.1 X2A ≤ 40
PESO
-------------------- 1 X1F + 1 X2F ≤ 5,000
1 X2F + 1 X2F ≤ 7,000
NN Xij ≥ 0 V i= 1,2 Vj = F,A
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